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Le Marché! Faut-il rappeler à ce propos qu’Haïti demeure le deuxième marché d’exportation pour les produits de la République dominicaine et les travailleurs haïtiens constituent l’un des piliers de leur économie. Les échanges commerciaux entre Haïti et la République voisine évoluent dans une proportion de plus de 1.000 pour 1 en leur faveur. Ce n’est pas par hasard, qu’au début de l’année 2018, le ministre dominicain des Affaires étrangères, Miguel Vargas Maldonado, avait déclaré dans les colonnes du quotidien Listin Diario « que la République dominicaine allait tripler le volume des exportations que réalise actuellement son pays vers Haïti».

Comment concevoir qu’un pays qui développe une politique aussi hautaine et basée sur le racisme à outrance contre l’autre ne vit que sur l’exploitation du marché de ce même pays à travers un commerce à sens unique. Voyez. La moindre remontrance haïtienne allume leurs maladresses et leur opportunismepuisque l’arrogance de ce monde de nantis n’a rien de fondamental. Il suffit qu’il conserve leurs privilèges économiques. Le lundi 19 mars écoulé, M. Enrique Ramirez Paniagua, directeur général des douanes dominicaines, n’a-t-il pas supplié les autorités haïtiennesde lever l’embargo sur les 23 produits alimentaires et industriels dominicains interdits d’entrée sur le marché haïtien !

A la lumière de ces données, il est clair que la bourgeoisie dominicaine exploite collectivement un pays autant que sa main-d’œuvre asservie, très avantageuse qui passe pour un facteur de véritables bénéfices pour ses nombreuses entreprises établies par le capitalisme rapace.

A ceux qui auraient pu l’oublier, nous disons que les déchainements de cette crise, à laquelle notre pays est en train de faire face ne s’arrêteront jamais tant que nous n’aurons lancé un défi cinglant au système d’iniquité qu’est le capitalisme qui maintient au pouvoir des régimes de complicité avec la bourgeoisie dominicaine.

Et ce ne sont pas par des manœuvres stériles qu’on pourra parvenir à démanteler la prédation impérialiste, si ce n’est que par la solidarité comme l’expriment certaines organisations progressistes dominicaines et surtout dans un combat sans merci, avec la persévérance des forces vives du pays pour construire et maintenir une alternative viable, une société révolutionnaire et socialiste qui seule peut garantir aux masses haïtiennes une existence de paix et de stabilité politique et économique.

Non à la complicité du régime quant aux attaques intentionnelles contre les travailleurs haïtiens!

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Vérifie ce que cela donne pour a=1/10 .

On peut alors remplacer a par 1, mais on voit qu’il y a un problème. On est amené à diviser par 0, ce qui est illicite, en tout cas d’après ce qu’on nous apprend à l’école primaire. Mais on voit également que le seul problème, c’est quand a vaut 1. Si je remplace a par -1 par exemple, alors j’obtiens un résultat qui n’est guère plus vraisemblable que la somme des entiers: f(-1) = \frac{-1}{4} \overset{?}= -1 + 2-3+4-5+6-7+\ldots

Si on souhaite conserver la signification «les sommes successives se rapprochent du nombre», cela fonctionne précisément pour les a tels que -1<a<1 (par exemple pour 1/10, mais également pour 1/2, 1/3 ou -1/2).

J’en viens pour finir à la somme des entiers. Pour les a tels que -1<a<1 , on peut calculer f(a)+f(-a) de la manière suivante: On a donc f(a)+f(-a)=4f(a^2) . En soustrayant f(a) à chaque terme de l’égalité, on en déduit que 4f(a^2) - f(a) = f(-a) = \frac{-a}{(1+a)^2}.

En résumé, j’aurais peut-être dû me contenter de répondre que la somme des entiers positifs vaut plus l’infini ( +\infty ) et qu’il n’est pas correct de prétendre qu’elle vaut -1/12. Mais je maintiens mon— pourquoi pas? —. Il reste à voir si le fait de considérer qu’elle vaut -1/12 peut conduire à des résultats intéressants, comme par exemple le calcul de certaines sommes licites que l’on ne saurait pas obtenir autrement.

pourquoi pas?

En d’autres temps, certains considéraient comme invraisemblable qu’il existe des nombres dont le carré est négatif.

Post-scriptum :

Merci à Frédéric Millet, Alain Favre, Gilles Dammme et Destin Rodier pour leur relecture attentive et leurs commentaires.

Pour citer cet article :

Xavier Buff — «La somme des entiers» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

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La somme des entiers

le 5 juillet 2017 à 18:39, par Didier Roche

Un article passionnant, facile à lire et à comprendre. Bravo!

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La somme des entiers

le 6 juillet 2017 à 13:06, par Mateo_13

Bonjour,

merci pour votre excellent article.

Burkard Polster, alias Mathologer, a fait une longue vidéo sur cette égalité de Ramanujan, avec 4 niveaux de lecture, du débutant au mathématicien confirmé: https://youtu.be/jcKRGpMiVTw

Amicalement, — Mathieu Morinière.

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La somme des entiers

le 6 juillet 2017 à 13:56, par Xavier Buff

Bonjour, Il s’agit d’une des vidéos signalées en introduction. Peut-être aurais-je du le mettre plus en évidence. Cordialement, Xavier Buff

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La somme des entiers

le 6 juillet 2017 à 22:31, par Mateo_13

Désolé, je ne l’avais pas vue. (Peut-être pourriez.vous citer son auteur à côté du lien).

Amicalement, — Mathieu.

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La somme des entiers

le 10 juillet 2017 à 17:29, par TTTTTT

x=a/(1-a) n’est pas correct, c’est environ egal et encore si on prend un nombre a entre 0 et STRICTEMENT PLUS PETIT que 1, donc remplacer par 1 ou 2 est une erreur.

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La somme des entiers

le 17 juillet 2017 à 10:41, par ROUX

Est-il prévu une extension ou un prolongement de cet article venant épauler Deluxe654rs / Gns Sandales Plateforme En Daim Vert Des Femmes Pleaser lfLPFIdo
?

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La somme des entiers

le 22 septembre 2017 à 08:50, par yann coudert

Bonjour,

Savoir que 1+2+3+4+5... est égal à - 1/12 ne nous renseigne pas beaucoup sur la structure de N. Il existe beaucoup de choses curieuses de ce type en mathématiques, et c’est une tendance très en vogue actuellement.

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Sans entrer dans l’interprétation du texte, il faut encore soulever un point crucial pour la notion de possibilité objective, à savoir son régime de validité pour le moins singulier et composite. La possibilité objective est tout d’abord à comprendre comme une construction intellectuelle, que Weber n’hésite pas à rapprocher de la «libre imagination» Sandales Femmes Italdesign Mules Plates Hr611082 Blanc BAnhqxHVev
mais dont la validité s’appuie néanmoins sur celle de deux types de savoirs qui la composent. Un savoir que Weber qualifie, assez curieusement, de savoir «ontologique», tout d’abord, qui nous donne accès, au sein de l’effectivité historique telle qu’elle nous est donnée empiriquement ou par l’intermédiaire de documents, à des éléments –eux aussi empiriquement constatables– sur la base desquels il devient possible de construire des possibilités alternatives. Il est ainsi possible, pour reprendre l’exemple de Meyer, de discerner empiriquement dans la civilisation grecque du début du v siècle des éléments théocratiques permettant d’envisager ce que serait devenue une Grèce passée sous protectorat perse. Mais l’opération spécifique de la possibilité objective consiste en l’application à ce savoir «ontologique» d’un savoir que Weber qualifie de «nomologique» et qui consiste à prolonger ces éléments en déterminant quelles conséquences alternatives ils auraient pu avoir suivant un certain nombre de règles, «règles de l’expérience» ou «règles d’expérience» (dans l’exemple précédemment cité, il s’agira alors d’une généralisation concernant le traitement imposé par les Perses aux spécificités culturelles des peuples qu’ils ont vaincus, obtenue sur la base de plusieurs cas historiques).

La question de savoir ce qu’il faut comprendre sous ces «règles» paraît difficile à trancher à la lecture du texte de Weber Hey Mec Chaussures Chloe Preen Fiore Glisser Sur oR43fo
alors même que la manière dont on la définit engagerait la connaissance historique sur des voies très divergentes. Les questions que l’on peut poser sur la nature de ce «savoir nomologique» sont alors de plusieurs ordres. On peut tout d’abord se demander de quelle nature sont ces règles: s’agit-il de lois universelles et nécessaires au même titre que les lois de la nature, d’un savoir au sens fort du terme ou bien s’agit-il de simples régularités? Dans le même temps, on pourra également demander de quelle source elles proviennent: sont-elles constitutives de notre expérience, comme peut le laisser penser l’expression kantienne de «règle de l’expérience»? issues de disciplines nomologiques devenues pour un temps savoirs auxiliaires de l’histoire? ou bien sont-elles tirées de notre «pratique de la vie» comme le suggère Weber? Le dernier ordre de questions que l’on pourra poser tient à une apparente restriction de la part de Weber, dont les exemples et certaines définitions de ce savoir (comme «connaissance du comportement d’autres personnes», par exemple) peuvent laisser penser que ces règles se limitent au seul champ des : ces règles sont-elles alors solidaires d’une option théorique nette concernant le type de forces agissantes en histoire ou bien toute régularité pourrait-elle être invoquée au même titre, pourvu qu’elle s’insère dans le dispositif présenté par Weber?

Pris dans toute la complexité de sa construction, le concept wébérien de «possibilité objective» nous semble se signaler de deux manières parmi les exemples d’élaboration de cette notion: d’abord en ce qu’elle paraît déjouer les grandes oppositions à travers lesquelles on a l’habitude de la penser; ensuite et plus spécifiquement, en ce qu’elle permet de problématiser autrement un usage du possible qui a déjà fait couler beaucoup d’encre en histoire, à savoir la question du recours au raisonnement contrefactuel.

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Présent

je sauvegard e tu sauvegard es il sauvegard e nous sauvegard ons vous sauvegard ez ils sauvegard ent

Passé composé

j'ai sauvegard é tu as sauvegard é il a sauvegard é nous avons sauvegard é vous avez sauvegard é ils ont sauvegard é

Imparfait

je sauvegard ais tu sauvegard ais il sauvegard ait nous sauvegard ions vous sauvegard iez ils sauvegard aient

Plus-que-parfait

j'avais sauvegard é tu avais sauvegard é il avait sauvegard é nous avions sauvegard é vous aviez sauvegard é ils avaient sauvegard é

Passé simple

je sauvegard ai tu sauvegard as il sauvegard a nous sauvegard âmes vous sauvegard âtes ils sauvegard èrent

Passé antérieur

j'eus sauvegard é tu eus sauvegard é il eut sauvegard é nous eûmes sauvegard é vous eûtes sauvegard é ils eurent sauvegard é

Futur simple

je sauvegard erai tu sauvegard eras il sauvegard era nous sauvegard erons vous sauvegard erez ils sauvegard eront

Futur antérieur

j'aurai sauvegard é tu auras sauvegard é il aura sauvegard é nous aurons sauvegard é vous aurez sauvegard é ils auront sauvegard é

Subjonctif

Présent

que je sauvegard e que tu sauvegard es qu'il sauvegard e que nous sauvegard ions que vous sauvegard iez qu'ils sauvegard ent

Passé

que j'aie sauvegard é que tu aies sauvegard é qu'il ait sauvegard é que nous ayons sauvegard é que vous ayez sauvegard é qu'ils aient sauvegard é

Imparfait

que je sauvegard asse que tu sauvegard asses qu'il sauvegard ât que nous sauvegard assions que vous sauvegard assiez qu'ils sauvegard assent

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